HMM模型实例中学习前向算法

隐马尔可夫模型(Hidden Markov Model,HMM)作为一种统计分析模型,创立于20世纪70年代。80年代得到了传播和发展,成为信号处理的一个重要方向,现已成功地用于语音识别,行为识别,文字识别以及故障诊断等领域。

HMM算法想必大家已经听说了好多次了,完全看公式一头雾水。但是HMM的基本理论其实很简单。因为HMM是马尔科夫链中的一种,只是它的状态不能直接被观察到,但是可以通过观察向量间接的反映出来,即每一个观察向量由一个具有相应概率密度分布的状态序列产生,又由于每一个状态也是随机分布的,所以HMM是一个双重随机过程。

HMM是语音识别,人体行为识别,文字识别等领域应用非常广泛。

一个HMM模型可以用5个元素来描述,包过2个状态集合和3个概率矩阵。其分别为

隐含状态S,可观测状态O,初始状态概率矩阵π,隐含状态概率转移矩阵A,观测状态转移概率矩阵 B。

HMM在实际应用中主要用来解决3类问题。

1. 评估问题。

即给定观测序列 O=O1O2O3…Ot和模型参数λ=(A,B,π),怎样有效计算这一观测序列出现的概率

2. 解码问题。

即给定观测序列 O=O1O2O3…Ot和模型参数λ=(A,B,π),怎样寻找满足这种观察序列意义上最优的隐含状态序列S。

3. 学习问题。

即HMM的模型参数λ=(A,B,π)未知,如何求出这3个参数以使观测序列O=O1O2O3…Ot的概率尽可能的大。

这篇文章是针对第一个问题来说的,一般采用的是前向后向算法来解决评估问题。这里将的是前向算法。

在此之前,先引入几个符号:

at(i) :  表示到第t个观察值Ot时处于状态i。

 : 表示在状态i下产生观察值 的概率。

现在来看一下前向算法的理论来源。

因为我们要解决的是模型估计问题。即计算概率 。将其利用如下公式化简:

 

 

因此首先要先计算

 ,其中Q为一给定的状态序列 。又有

 

其中

 

所以

 

     因此最后求得

   

     由此可以看见其计算复杂度非常大,为

    为了解决这个问题,前向算法就出现了。首先定义了一个前向变量 。表示从1到t,输出符号o序列,t时刻处于状态i的累计输出概率。

     因为前向变量有如下性质:

     初值:

    ,且

 ,最后有递推关系:

 

     为什么这样就可以简化计算复杂度呢?其原因很简单,因为每一次的at(i),我们都可以用at-1(i)来计算,就不用重复计算了。如下示意图可以帮助我们形象的理解:

    

     看了这么多公式,是不是头晕了?不急,下面看一个实例就会完全明白的。

     题目:HMM模型如下,试通过前向算法计算产生观察符号序列O={ABAB}时每个时刻的 和总概率。

     当然初始概率矩阵π=(1,0,0),即开始处于状态1。按照上面的公式理论,我们的递推依次解出at(i)。解法如下:

     t=1时:

 

t=2时:

 

t=3时:

 

t=4时:

所以有最后的结果:

 

 

最后将其计算过程示意图表示如下:

 

 

 

作者:tornadomeet 出处:http://www.cnblogs.com/tornadomeet

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